Cinemática: del vector al lanzamiento vertical

Magnitudes y unidades

El letrero de la carretera dice "Aeropuerto 80 km". Tu GPS dice "gire a la derecha en 200 m". ¿Cuál de los dos te da información suficiente para llegar?

Una magnitud física es todo lo que se puede medir y expresar con un número y una unidad. En física las separamos en dos grupos:

El Sistema Internacional (SI)

Convertir km/h a m/s

Como 1 km = 1.000 m y 1 h = 3.600 s, basta dividir por 3,6. Para volver a km/h, multiplicas por 3,6.

Ejercicios

Vectores

Caminas 3 cuadras al este y luego 4 al norte. Recorriste 7 cuadras, pero ¿a qué distancia quedaste del punto de partida?

Un vector se dibuja como una flecha. Tiene tres características:

• Módulo: el tamaño de la flecha, el valor numérico (por ejemplo, 5 m).
• Dirección: la recta sobre la que está (horizontal, vertical, 30° sobre la horizontal).
• Sentido: hacia dónde apunta la punta de la flecha (norte o sur, derecha o izquierda).

Multiplicar un vector por un número

Un vector unitario mide exactamente 1 y solo sirve para indicar una dirección y un sentido. Se escribe con un sombrerito: û. Si lo multiplicas por un número, obtienes otro vector en la misma dirección:

• Multiplicar por un número mayor que 1 lo alarga: 3û mide 3.
• Dividir lo acorta: û / 2 mide 0,5.
• Un signo menos invierte el sentido: −û mide lo mismo que û, pero apunta al revés.

Así se escriben muchas magnitudes en física. Si û apunta hacia la derecha, una velocidad de 5 m/s hacia la izquierda se escribe v = −5û: el 5 es el módulo y el signo menos indica el sentido.

Sumar vectores

El método gráfico se llama punta con cola: pones el inicio del segundo vector en la punta del primero. El vector resultante va desde el inicio del primero hasta la punta del último.

Componentes de un vector

En una cuadrícula, cualquier vector se puede descomponer en cuánto avanza en horizontal (componente x) y cuánto avanza en vertical (componente y). Basta contar cuadros. Un vector que avanza 6 cuadros a la derecha y 2 hacia arriba se escribe A = (6, 2).

Las componentes hacen muy fácil sumar vectores con cualquier inclinación: sumas todas las x por un lado y todas las y por otro. Luego, el módulo de la resultante sale con Pitágoras.

Por ejemplo: (6, 2) + (3, 5) = (9, 7), y su módulo es √(81 + 49) ≈ 11,4.

Ejercicios

Sistema de referencia, distancia y desplazamiento

Das una vuelta completa trotando alrededor de la laguna de un parque. Tu reloj marca 1,5 km. Un físico dice que tu desplazamiento fue cero. ¿Quién tiene razón?

Los dos. Para describir un movimiento primero necesitas un sistema de referencia: un punto de origen, ejes con dirección positiva y un reloj. Sin él, "estoy a 5 metros" no significa nada: ¿a 5 metros de qué?

• Posición (x): dónde está el objeto respecto del origen. Puede ser positiva o negativa.
• Trayectoria: el camino que dibuja el objeto al moverse.
• Distancia recorrida: el largo total de la trayectoria. Es escalar y nunca es negativa.
• Desplazamiento (Δx): el cambio de posición, desde donde empezaste hasta donde terminaste. Es vectorial.

El movimiento también es relativo: si vas sentado en el bus, estás quieto respecto del asiento, pero te mueves a 50 km/h respecto de la calle.

Ejercicios

Rapidez y velocidad

Un bus interurbano tarda 6 horas en llegar a otra ciudad, pero en la carretera el velocímetro marcó 100 km/h casi todo el tiempo. ¿Cuál de esos datos es "la velocidad" del bus?

La velocidad instantánea es la que tienes en un momento preciso, la que marca el velocímetro. La media resume todo el viaje, incluyendo detenciones y cambios de sentido.

Ojo: en el tesoro pirata el reloj cuenta también el tiempo que te demoras en decidir, como si el barco quedara anclado mientras piensas. Por eso, si te demoras más, tu rapidez media baja aunque recorras lo mismo: las detenciones también cuentan en la rapidez media.

Ejercicios

Movimiento relativo y suma de velocidades

Caminas por el pasillo del bus hacia adelante a 1 m/s mientras el bus avanza a 15 m/s. ¿Qué tan rápido te mueves? La respuesta correcta es: depende de a quién le preguntes.

Toda velocidad se mide respecto de algo: de un sistema de referencia. Para tu compañero de asiento te mueves a 1 m/s; para una persona parada en la parada del bus, a 16 m/s. Los dos tienen razón, porque miden desde sistemas de referencia distintos. Por eso decimos que el movimiento es relativo.

Para no confundirnos, anotamos quién se mueve y respecto de quién: v_P/B se lee "velocidad del pasajero respecto del bus".

La suma de velocidades de Galileo

Si conoces tu velocidad respecto del bus y la velocidad del bus respecto de la calle, tu velocidad respecto de la calle es la suma vectorial de ambas:

Como son vectores, se suman como aprendiste en la lección 2:

Velocidad de un móvil respecto de otro

Para saber cómo ve un móvil A a otro móvil B, se resta: v_A/B = v_A − v_B (ambas medidas respecto del suelo). Si en una autopista un auto va a 30 m/s y el camión de adelante a 25 m/s, el conductor del auto ve que se le acerca a solo 5 m/s. Si vienen de frente, uno a 30 m/s y otro a −25 m/s, se acercan a 55 m/s: por eso los choques frontales son tan graves.

Esta suma de velocidades funciona perfecto en la vida cotidiana. Solo deja de valer para velocidades cercanas a la de la luz, donde se necesita la teoría de la relatividad de Einstein.

Ejercicios

MRU: un móvil, su tabla y su ecuación

Un bus avanza por una avenida recta sin frenar ni acelerar: en cada segundo recorre exactamente lo mismo. Si sabes dónde está ahora, ¿puedes predecir dónde estará en un minuto más?

Sí, y eso es lo que estudia esta lección. Un objeto está en movimiento rectilíneo uniforme (MRU) cuando se mueve en línea recta con velocidad constante: no acelera, no frena y no cambia de sentido. Por eso recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales.

Paso 1: la tabla itinerario

La forma más simple de describir un movimiento es anotar dónde está el móvil en distintos instantes. Esa tabla se llama tabla itinerario. Mira este ejemplo: una ciclista pasa por x = 10 m cuando empiezas a cronometrar y avanza a 4 m/s.

En cada segundo la posición aumenta 4 m: esa es la señal de un MRU. Para llenar la tabla basta partir de la posición inicial y sumar la velocidad por cada segundo que pasa.

Paso 2: el gráfico posición-tiempo

Si llevas los puntos de la tabla a un gráfico, con el tiempo en el eje horizontal y la posición en el vertical, quedan todos sobre una recta. Siempre que el gráfico x-t sea una recta, el movimiento es un MRU.

Paso 3: calcular la pendiente

La pendiente mide qué tan inclinada está la recta. Para calcularla eliges dos puntos de la recta, (t₁, x₁) y (t₂, x₂), y divides cuánto subió por cuánto avanzó:

Con los puntos (1 s, 14 m) y (4 s, 26 m) de la tabla: m = (26 − 14) / (4 − 1) = 12 / 3 = 4 m/s. La pendiente del gráfico x-t es la velocidad, y sus unidades son las del eje vertical divididas por las del horizontal.

Si la recta es horizontal, la pendiente es cero: el móvil está detenido.

Paso 4: la ecuación de la recta

Toda recta se escribe como y = b + m·x, donde m es la pendiente y b el intercepto (el valor donde la recta corta el eje vertical). En un gráfico posición-tiempo las letras cambian, pero la idea es la misma:

El intercepto es la posición inicial x₀ (dónde estaba en t = 0) y la pendiente es la velocidad v. Para plantear la ecuación de cualquier MRU sigues tres pasos:

1. Calculas la pendiente con dos puntos: esa es v.
2. Lees dónde corta la recta al eje vertical: ese es x₀. Si no se ve, lo despejas: x₀ = x₁ − v · t₁.
3. Reemplazas en x(t) = x₀ + v · t.

Para la ciclista: v = 4 m/s y x₀ = 10 m, así que x(t) = 10 + 4·t. Con esta ecuación puedes predecir: a los 30 s estará en x = 10 + 4·30 = 130 m, y pasará por x = 50 m cuando 10 + 4·t = 50, es decir, a los t = 10 s.

Ejercicios

MRU: gráficos y encuentros

Si conoces la velocidad de un auto y cuánto tiempo viajó, ¿puedes saber cuánto avanzó mirando solo un gráfico? ¿Y dónde se cruzará con otro auto que viene de frente?

El gráfico velocidad-tiempo

Como la velocidad no cambia, el gráfico velocidad-tiempo de un MRU es una línea horizontal: a cualquier tiempo, la velocidad vale lo mismo. Si el móvil va en sentido negativo, la línea queda bajo el eje.

Este gráfico esconde un dato muy útil: el área entre la línea y el eje del tiempo es el desplazamiento. Es un rectángulo de alto v y ancho t, así que su área es v · t, que es justamente Δx. Si la línea está bajo el eje, el área cuenta como negativa: el móvil se desplazó hacia atrás.

Dos móviles a la vez

Ahora que sabes plantear la ecuación de un móvil, puedes resolver un problema clásico: un bus sale de la ciudad A hacia la ciudad B y otro sale de B hacia A a la misma hora. ¿Dónde y cuándo se cruzan?

Problemas de encuentro

Planteas la ecuación de posición de cada móvil usando el mismo origen, igual que hiciste con uno solo. Se encuentran cuando están en la misma posición en el mismo instante: igualas x_A(t) = x_B(t) y despejas t.

Ejercicios

¿Cómo vas hasta el MRU?

Antes de pasar a la aceleración, comprueba lo que aprendiste en las lecciones 1 a 7: unidades, vectores, desplazamiento, velocidad, movimiento relativo y MRU. Este ensayo no tiene nota: es para que sepas cómo vas antes de la prueba. Responde todas las preguntas y al final corrígelo para ver tu porcentaje de logro. Te sugiero darte unos 40 minutos, como en una prueba: puedes controlarlos con el temporizador de CIENCIA Hz.

Aceleración

Un auto deportivo pasa de 0 a 100 km/h en 3 segundos. Un bus tarda 20. Los dos llegan a la misma velocidad: ¿qué los diferencia?

La aceleración mide qué tan rápido cambia la velocidad. Es un vector.

Su unidad es m/s². Una aceleración de 3 m/s² significa que la velocidad aumenta 3 m/s en cada segundo.

Ojo: "aceleración negativa" no siempre significa frenar. Si el auto va en sentido negativo y la aceleración también es negativa, va cada vez más rápido.

Ejercicios

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Un niño cruza la calle a 20 m de tu auto. Vas a 50 km/h. ¿Alcanzas a frenar?

En el MRUA el objeto se mueve en línea recta con aceleración constante. Su velocidad cambia lo mismo en cada segundo. Tres ecuaciones lo describen:

La tercera es muy útil cuando no conoces el tiempo, como en los problemas de frenado.

Los tres gráficos

• Posición-tiempo: una parábola. Su pendiente en cada punto es la velocidad instantánea.
• Velocidad-tiempo: una recta inclinada. Su pendiente es la aceleración y el área bajo ella es el desplazamiento.
• Aceleración-tiempo: una línea horizontal. El área bajo ella es el cambio de velocidad.

La velocidad instantánea en un gráfico curvo

En un MRU la recta x-t tiene la misma pendiente en todas partes. En un MRUA el gráfico es una curva, así que su inclinación cambia de un instante a otro. ¿Cómo leemos la velocidad en un instante preciso?

• La velocidad media entre dos instantes es la pendiente de la recta secante, la que une esos dos puntos de la curva.
• La velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente, la que toca la curva en un solo punto con su misma inclinación.

Mientras más corto es el intervalo, más se parece la secante a la tangente. Así se define la velocidad instantánea: es la velocidad media en un intervalo de tiempo muy, muy pequeño.

MRUR: el movimiento retardado

Cuando la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos, el móvil va cada vez más lento: es un movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR). Es el caso de un auto que frena, una bicicleta que deja de pedalear o una pelota que rueda hasta detenerse. Se usan las mismas ecuaciones del MRUA; lo único que cambia es que v₀ y a tienen signos contrarios.

Como la velocidad baja lo mismo en cada segundo, se detiene cuando v = 0. De ahí salen dos fórmulas muy usadas:

Ojo: lo que define un MRUR no es que la aceleración sea negativa, sino que sea opuesta a la velocidad. Un móvil que va en sentido negativo (v₀ < 0) con aceleración positiva también está frenando.

Pruébalo en el simulador: pon velocidad inicial 10 m/s y aceleración −2 m/s². La recta v-t baja hasta cruzar el cero a los 5 s: ese es el instante en que se detiene. Si el tiempo siguiera corriendo con la misma aceleración, el móvil empezaría a devolverse.

Ejercicios

El gráfico aceleración-tiempo

En un MRUA el gráfico a-t es una línea horizontal. Así como el área bajo v-t es el desplazamiento, el área bajo a-t es el cambio de velocidad: Δv = a · t.

Problemas de dos etapas

En la vida real los movimientos cambian: un auto acelera, luego va parejo y después frena. Para resolverlos, se divide el problema en etapas: lo que termina una etapa (posición y velocidad) es el punto de partida de la siguiente.

Caída libre

En 1971, el astronauta David Scott soltó un martillo y una pluma en la Luna. ¿Cuál llegó primero al suelo?

Llegaron al mismo tiempo. Sin aire, todos los objetos caen con la misma aceleración, sin importar su masa. Esa aceleración es la aceleración de gravedad (g). En la Tierra vale aproximadamente 9,8 m/s² y en la Luna 1,62 m/s².

En física se llama caída libre a cualquier movimiento en que la única influencia es la gravedad. No importa si el objeto se suelta, se lanza hacia abajo o se lanza hacia arriba: todos están en caída libre y todos tienen la misma aceleración g hacia abajo. En esta lección estudiamos el caso más simple, soltar un objeto desde el reposo; los lanzamientos vienen en las dos lecciones siguientes.

Al soltar un objeto desde una altura h, parte con v₀ = 0 y las ecuaciones quedan:

Llega al suelo cuando y = 0. Su velocidad es negativa porque apunta hacia abajo, y su rapidez al llegar es |v| = √(2·g·h).

En la Tierra el aire frena los objetos livianos y con mucha superficie, como una pluma o una hoja. Por eso en la vida diaria parece que "lo pesado cae más rápido". Aristóteles lo creía así; Galileo demostró que es el aire, no la masa, lo que marca la diferencia.

Ejercicios

Usa g = 9,8 m/s² y desprecia el roce con el aire.

Lanzamiento vertical hacia abajo

Desde un balcón dejas caer una pelota y, al mismo tiempo, tu amigo lanza otra hacia abajo. ¿Cuánto antes llega la suya?

Sigue siendo caída libre (solo actúa la gravedad), pero ahora el objeto parte con una velocidad inicial hacia abajo. La aceleración sigue siendo a = −g: en cada segundo la velocidad se hace 9,8 m/s más negativa, es decir, el objeto baja cada vez más rápido, pero partiendo de una velocidad inicial distinta de cero.

Usamos la misma convención que en caída libre: eje y hacia arriba, origen en el suelo y a = −g. La velocidad inicial hacia abajo es negativa:

Con v₀ negativa (hacia abajo). Poner bien los signos es la parte más importante: con esta misma convención resolveremos también el lanzamiento hacia arriba.

Ejercicios

Lanzamiento vertical hacia arriba

Cuando una pelota lanzada hacia arriba llega a su punto más alto, se detiene un instante. En ese momento, ¿su aceleración también es cero?

No. La gravedad nunca se apaga: la aceleración vale −9,8 m/s² durante todo el movimiento, subiendo, en el punto más alto y bajando. Lo que vale cero arriba es la velocidad, no la aceleración.

Usamos las mismas ecuaciones de la lección anterior, ahora con v₀ positiva. De ellas salen tres resultados clave (lanzando desde el suelo):

La simetría del movimiento

• El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada hasta el mismo nivel.
• La pelota pasa por cada altura con la misma rapidez al subir y al bajar, pero con sentido opuesto.
• Vuelve a la mano con la misma rapidez con que salió.

Estas simetrías solo se cumplen si despreciamos el roce con el aire.

Ejercicios

Ensayo integrado de la unidad

Este ensayo no tiene nota: te sirve para prepararte para la prueba de la unidad. Te sugiero unos 90 minutos en total, en dos sesiones si lo prefieres; puedes controlarlos con el temporizador de CIENCIA Hz. El ensayo tiene cuatro partes. Usa g = 9,8 m/s². En movimiento vertical, cuando se pida una rapidez, una altura o una distancia, responde con valores positivos; cuando se pida una velocidad con signo, usa el eje y hacia arriba. Cada parte te dice si vas bien, así que úsala también para descubrir qué necesitas repasar.

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